“上中-复旦导师制计划”系列讲座——从低维空间到高维空间

2023年4月16日晚，来自复旦大学数学科学学院的李颖洲老师为上海中学25届的同学们带来了题为“从低维空间到高维空间”的讲座。讲座的前半部分，李老师与同学们探讨了这样一个问题：“高维球体体积应当怎么计算？”同学们都知道，二维平面上，单位圆与边长为2的正方形面积之比为π，三维空间中，相对应的体积比为4/3π。那么四维呢？是简单的四重积分结果吗？显然并非如此，李老师向同学们演示了递归方法计算。最终得出结论：高维单位球体积趋于0。这样一个看似疏离了日常世界与人类直觉感知的答案，却恰恰体现了数学作为“宇宙的语言”，其深邃与美丽之处。此后，李老师又简单介绍了高维向量与高维数据压缩的相关知识。

李老师的此次讲座，深入浅出，化抽象为具象，让同学们尽情领略了数学世界的宇宙星辰。25届的复导大讲座，至此也画上了圆满的句号，想必同学们都收获匪浅。请同学们期待，下阶段的复导活动中，仍能一路前行，一路拾撷智慧的果实，在探索新知中见证自己成长的足迹！

（李颖洲老师演示递归方法计算）

（学生认真听讲）

（文：高一（8）班 杨若琳 /图：朱旭倩/编辑：胡晨）

“上中-复旦导师制计划”经济微课程——经济学分析及应用

2023年4月16日，钱浩祺老师为学生们带来了复旦导师计划经济方向的第二次课。

本次课程主要围绕经济学分析的微观基础展开。首先，钱老师介绍了总效用，边际效用的概念，以及边际效用递减定律。接着，钱老师讲解了无差异曲线，该曲线表示面临多种商品选择时，带给消费者相同效用的商品组合，该曲线上任意一点斜率的绝对值表示边际替代率或边际效用之比。随后，线老师介绍了既定收入能消费的两种商品的可能组合所构成的曲线，即预算约束线。若将上述两曲线放在同一个坐标轴内，当无差异曲线与预算约束线相切时得到最优化结果，这一过程体现了等边际原型。在以上模型中，当改变某一商品价格后，可以得到价格与需求的关系，价格下降时，商品的需求会上升。

本次课推导了需求曲线，介绍了经济学中的一些重要概念，介绍了经济学的基本分析方法。

（钱浩祺老师介绍边际效用的概念）

（文：高二（9）班 袁昌昊/图：朱旭倩/编辑：胡晨）

“上中-复旦导师制计划”中文微课程——陶渊明其人

本节课程继续了上节课的“陶渊明其人”的讲述。

本文以陶渊明与音乐开篇，老师提出了关于“陶渊明解音乐否？”的问题。关于何为“解”，知乐理为“解”，抑或能否演奏为“解”是这个问题的题解。陶渊明至少喜爱音乐，乐于欣赏，但其是否会演奏尚无定论。《宋书》是记载陶渊明最详细的史书，其中记载的晋宋交替、妻子与死亡一事中提及刘裕唤陶作官，但因陶祖为晋作官，故耻于为刘宋作官。其依据是晋时作品有年号，刘宋起便只称干支。对这个问题主流看法与之相反，但仍处于争论之中。这也体现了人文学科依赖证据的特点。

关于《五柳先生传》究竟是自传或他传也引发争论。老师提出了一个看法，认为只要是史书，是传记，必然存在或多或少扭曲、不正确的内容。但作品中塑造的那个人物，那些文字的力量才是同学们应在意的。正是这些同学们愿意相信的事构成了历史、构成了传统，这才是史书与文字存在的意义。

以上便是本次复导的主要内容。

（陈特老师点明史书存在的意义）

（文：高二（1）班 房新宇/图：朱旭倩/编辑：胡晨）

“上中-复旦导师制计划”哲学微课程——命题逻辑的思想和方法

陈教授先区分了词项逻辑和命题逻辑，来引出今天的主题。

第一个主要内容是：复合命题，他介绍了概念、定义和逻辑特征。接着，陈教授先后提及了联言命题及其推理、选言命题及其推理。

联言：p∧q (p合取q) 选言：p∨q(p析取q)；p∨q（∨号上要加上“· ”）(p(不相容)析取q)

陈教授又讲了假言命题及其推理  假言：[充要]：p ↔ q，判定式¬ (p∨q) （∨号上要加上“· ”）

假言：[充分]：p→q(如果p,那么q)：¬p∨q(非p合取q) [必要]：p∨¬q(p合取非q)

然后陈教授介绍了二难推理：(p→r) ∧(q→r) ∧(p∨q)→r，判定式r，或者¬p。

随后，陈教授又讲述了自然演绎系统。并以无效性证明作为本节课的最后一个版块 。

i) 从形式证明的角度，无法给出有效的论证形式。

ii) 从结论的角度看，可以找出无效的论证形式。

陈教授以一个古老难题结束了这次授课。

（陈伟教授推理假言命题）

（文：高二（9）班 沈戚榆/图：朱旭倩/编辑：胡晨）

“上中-复旦导师制计划”政治微课程——政治学原理

继上节课对于“国家理论”的粗略介绍之后，这节课上进行了更进一步的探究。

先是延续上节课重新讲述了绝对主义时期之后民族国家的形成，这是西方国家实体的演变过程，进而推及到中国明清时期，二者互相对比，介绍了明清国家构建的基本要素特点，包括集权、小规模官僚，低水平财政、简约化治理，指出这种制度在地方治理上的弊病，因其随人口逐渐增加，量入为出的财政制度显露疲态，主要依靠士绅进行地方治理，这种问题时至今日仍能看出些许端倪。时间转到清代前期，国家曾经历自由放任与短期的繁荣，却因不断放任造成户部管理能力的下降，即所谓“State Capacity”的下降，由此引入一个概念“马尔萨斯陷阱”，指出随时间推移，即使总产量在升高，但人均产量在持续下降，导致中央与地方之间关系紧张。到了晚清，太平天国与督抚政治兴起，昭示政治格局的逐渐变化，在税收与债务体制上也存在新变化，督抚政治又直接导致了洋务运动，巩固清政府政权，政权逐渐西化。时间推移至现代，提出几个现代国家构建的解决方案，最后提及计划经济时期的回顾与总结。

整节课实际上仍在讨论有关国家理论的内容，对其有了更深层次的理解。

（邓涵之老师探讨明清国家构建的基本要素特点）

（文：高二（9）班 倪宇哲/图：朱旭倩/编辑：胡晨）