上中-复旦导师制计划”数学微课程——《柯西定理》

2020年12月20日，姚一隽教授带来了近两个小时的复旦导师制计划数学微课程。

姚教授先复习了上节课一个熟知的几何命题：凸正多面体有五种。其中凸正多面体中正十二面体是最特殊的，其构造相当不显然：正五边形是一个比较复杂的图形。但是存在一个问题：什么是多面体？

姚教授表示这个问题要回到欧式几何的根本。欧式几何各类定理的核心是“三角形的全等”。这个概念在物理学上很容易理解。但是，三维空间中无法用“完全重叠”这个概念描述，因为没有办法把两块石头完全重合的叠在一起。欧几里得对其的定义是“由相同的平面图形围成的几何体全等”，但这是一个定理，并非公理。

姚教授告诉同学们这个问题的进一步的突破要等到两千年后柯西得到的定理，这个定理说一个凸多面体在各个面保持不变的情况下保持“刚性”。刚性就是说能够确定一个凸多面体的形状。多边形中只有三角形满足边上的“刚性”，其余图形都没有；不仅如此，不同的此类图形在变化的过程中面积是会变的。

姚教授接着演示了柯西定理的证明，先证明三面角有刚性。四面角及以上的角是不具有这个性质的。之后，考虑把多面角对应到球面多边形。柯西证明了一个引理：把一个平面或球面上的多边形去掉一条边，把每一个剩余的角增大一些，那么开口的边相等当且仅当对应角都相等。其证明有多种方法。可以考虑用归纳法：三角形去掉一条边，则有平面或球面的余弦定理，于是可行。对于大于等于4条边的图形，若有一个角保持不变，由归纳假设直接成立；若所有角都变大，则将最后一个角放大到使多边形保持凸的最大角。

之后，姚教授带领同学们证明在两个凸多面体对应顶点处每一个面角都相同时，对应顶点处的每一个二面角相同。把立体图中所有二面角相同的棱去掉，得到一个退化的平面图，有不等式形式的欧拉公式。若一个顶点存在变化的二面角，必然至少两个增大、两个减小，且相互交错。对于每个顶点相邻两条棱符号改变的次数进行计数，由柯西引理，这个数大于等于顶点个数的四倍；但由于一个多边形的变化次数不能超过固定次数，所以这个数不可能这么大。因此发现矛盾，说明这个平面图没有点，于是得证。这个定理说明了正多面体只有5种。

证明过后，姚教授又提出了新的问题：存不存在多面体，它可以进行连续的形变？答案是存在。在1896年，构造出了一个面与面存在交点的多面体。1970年，一个面与面没有交点的同样性质的多面体被构造出来了。后来，最小记录变成了9个。同时，还有定理证明小于等于7个多面体都是刚性的。

通过本次复旦导师制计划，同学们深入了解了柯西定理与正多面体的证明，收获颇丰。（文：黄晨轩 图：杨嘉伟）