上中-复旦导师制计划”数学微课程——《数》

2020年12月27日，复旦导师制计划如约而至。前三节课姚一隽教授讲述了有关几何体的一些内容，今天的主题便是之前没有讲到的数。

数是人们认识的最早概念之一，人们知道的数是从自然数开始的。将其在符号上进行拓展，就得到了整数集；在比例上拓展，就得到了有理数集。讲到这里，老师给了同学们几个看似毫不相关的几何问题。第一个，给定有理数，能不能将给定的线段分成这个比例？只要通过比例线段就可以轻松完成。第二个，给定线段，如何做出它的根号一个数倍长？只要将其延长这个数倍，以两条线段的并作一个半圆，从长为1的端点延长出一条直线交半圆，就得到了根号下的这个数。

由刚刚两个结论可以得出，定义了长为1的线段以后，同学们就可以得到一个集合包含所有尺规作图能够得到的线段长。它关于加减乘除法与开根号是封闭的。记这一个集合为A。显然，它不是熟悉的数集。于是，证明一个图形是尺规作图可做的等价于证明它需要的所有元素长度均属于A。

接下来，老师带领同学们讨论了包含1与根号2，关于某些运算封闭的集合是什么。当限定运算为加减乘除时，得到的集合就是形如有理数加有理数乘根号二的所有数组成的集合。如果把根号二改成三次根号二呢？除法本身还是挺难的，不妨考虑一个更简单的问题。以三次根号二为根的整系数方程的最小系数是三，证明比较容易。于是使用这个想法进行分母有理化，便可以根据欧拉公式凑出一个因式。用单位根的知识，可以得出这个集合中任何一个数的两个共轭的数，它们是一个有理系数三次方程的根，这个结论是不显然的。

最后，老师向同学们传达了自己的期望：希望对数学有更大的兴趣，将它作为一个整体看待。数学中某一阶段看来是割裂的几个部分，在深入学习之后，往往就会发现它们是一个整体。(文：高二（8）黄晨轩 图：马翌晨)